判断下列向量组的线性相关性α1=(1,2,1,1)^T,α2=(1,1,2,-1)^T，α3=（3
三者是线性无关。
原因：
写出向量组为
1 1 3
2 1 4
1 2 5
1 -1 1 r2-2r4，r3-r1，r4-r1。
~
1 1 3
0-1 -2
0 1 2
0-2 -2 r1十r2，r2十r3，r4十2r3。
~
1 0 1
0 0 0
0 1 2
0 0 2 r4/2，r1-r4，r3-r4交换行次序。
~
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
于是r=3，三者是线性无关。
扩展资料：
有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,...,ar,满足（i）向量组A0:a1,a2,...,ar线性无关；（ii）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关。
那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作R（A）。
向量组与其最大线性无关组，可互相线性表示。两向量组等价。
向量组S的任两个最大线性无关组S_1, S_2，也可互相线性表示。即S_1, S_2等价。
一个向量组的任两个最大无关组所含有的向量个数相等。即向量组的秩相等。
参考资料来源：百度百科-最大线性无关向量
写出向量组为
1 1 3
2 1 4
1 2 5
1 -1 1 r2-2r4，r3-r1，r4-r1
1 1 3
0-1 -2
0 1 2
0-2 -2 r1十r2，r2十r3，r4十2r3
~
1 0 1
0 0 0
0 1 2
0 0 2 r4/2，r1-r4，r3-r4交换行次序
~
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
于是r=3，三者是线性无关的。
扩展资料：
注意
对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。
向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。
包含零向量的任何向量组是线性相关的。
含有相同向量的向量组必线性相关。
增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)
【局部相关，整体相关】
减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）
【整体无关，局部无关】
一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。
【无关组的加长组仍无关】
一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。 [2]
【相关组的缩短组仍相关】
若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。
1 1 3
2 1 4
1 2 5
1 -1 1 r2-2r4，r3-r1，r4-r1
~
1 1 3
0-1 -2
0 1 2
0-2 -2 r1十r2，r2十r3，r4十2r3
~
1 0 1
0 0 0
0 1 2
0 0 2 r4/2，r1-r4，r3-r4交换行次序
~
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
于是r=3，三者是线性无关的
