Question

一个 线性代数 问题。

Answer 1

【分析】AAT为实对称矩阵，因为（AAT）T=AAT如果AAT为正定矩阵，那么|AAT|＞0【解答】AAT为n×n阶矩阵1、若r（A）=r＜min（n，m）r（AAT）≤r（A）＜min（n，m）≤n，所以|AAT|=02、若n＞m，r（A）=m，r(AAT)≤r（A）=m＜n，所以|AAT|=03、若n＜m，r（A）=n，对于齐次线性方程组ATx=0，r（AT）=n，只有零解。任意的x≠0，ATx≠0，则xT(AAT)x=（ATx)TATx＞0所以AAT正定，所以|AAT|＞0综上所述，|AAT|≥0【评注】设A为n×m矩阵，且r（A）=m＜n，则ATA为正定矩阵。（注意和本题区分）正定矩阵的特征值都大于零，其行列式大于零。当A为实对称矩阵时，行列式|A|＞0，就考虑到从正定矩阵角度来解答。newmanhero2015年2月10日20:54:33希望对你有所帮助，望采纳。