Question

高等数学，用中值定理求极限，求详细过程

Answer 1

1、根据拉格朗日中值定理
arctana-arctanb=1/(1+ξ²)·(a-b)
其中，ξ在a与b之间，
∴arctan(π/n)-arctan[π/(n+1)]
=1/(1+ξ²)·[π/n-π/(n+1)]
=π/[n(n+1)(1+ξ²)]
其中，ξ在π/(n+1)与π/n之间，

∴原式=limn²·π/[n(n+1)(1+ξ²)]
=limπ/[(1+1/n)·(1+ξ²)]
=π
【∵lim(1+ξ²)=1】

2、根据拉格朗日中值定理
e^a-e^b=e^ξ·(a-b)
其中，ξ在a与b之间，
∴e^[1/(2x-1)]-e^[1/(2x+1)]
=e^ξ·[1/(2x-1)-1/(2x+1)]
=2e^ξ/(4x²-1)
其中，ξ在1/(2x-1)与1/(2x+1)之间，

∴原式=limx²·2e^ξ/(4x²-1)
=lim2e^ξ/(4-1/x²)
=1/2
【∵lime^ξ=e^0=1】