Question

一道大学数列极限题目，高手进

证明式子如下，为什么会出现ln2，是跟欧拉数有关吗？感觉式子没办法求和啊，级数1/n不是不收敛么？

Answer 1

这其实是比较巧妙地把级数拆成了两个级数.
分母利用自然数平方和公式,可以得到k(k+1)(2k+1)/6,倒数就是6/k(k+1)(2k+1).
看到这里,高中学数列应该培养出一种意识就是裂项,把一个分数拆成若干个分数之差的形式来求和.例如1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)之类的.但注意,这道题如果拆成A/k+B/(k+1)+C/(2k+1),其中A,B,C是待定系数,是做不了的,因为调和级数都发散,不可能用3个发散的级数来相加求和.
所以怎麼办?想到p级数当p>1时收敛,也就是说当分母的次数大於等於2时收敛,那就想办法把它裂项成分母次数为2不就好了吗?而且为了裂项方便,我们需要把分母变成两个相邻的自然数之积.具体思路有了,裂项过程我就不写,最後的结果是:
6/k(k+1)(2k+1)=12*[1/2k(2k+1)-1/(2k+1)(2k+2)]
分别计算两个级数的值.
1/2k(2k+1)=1/2k-1/(2k+1),於是当k从1加到∞时,得1/2-1/3+1/4-1/5+...=1-1+1/2-1/3+1/4-1/5+...=1-(1-1/2+1/3-1/4+1/5-...)=1-ln2
1/(2k+1)(2k+2)=1/(2k+1)-1/(2k+2),於是当k从1加到∞时,得1/3-1/4+1/5-1/6+...=-1+1/2+1-1/2+1/3-1/4+...=-1/2+ln2
所以原式=12*(1-ln2+1/2-ln2)=18-24ln2