Question

高等数学的幂级数问题。

高等数学的幂级数问题。求极限的时候遇到了lim[3+(-1)^(n+1)]/[3+(-1)^n]里面n趋于无穷大。解答一下怎么求，谢谢。

Answer 1

这题不适合直接用你写的极限来求收敛半径，需要将级数通项写成两部分的和。
令U_n=3*(x/3)^n，V_n=(-1)^n (x/3)^n，原级数为Σ（U_n + V_n）
显然 ΣU_n 与 ΣV_n 都是几何级数，收敛半径都是3，
所以Σ（U_n + V_n）在（-3,3）收敛，再考虑端点的情况。
x=-3或x=3时，lim（U_n + V_n）都不存在，更不可能是0，所以端点处级数发散。
综上，级数的收敛域就是开区间（-3,3）

Answer 2

解：换种方法求解，拆分、取其交集，确定收敛半径或者收敛区间/收敛域。
本题中，原式=∑[1/3^(n-1)]x^n+∑[(-1/3)^n]x^n。分别求解，可得收敛半径R=3、收敛区域为x∈(-3,3)，可“避开”不定式的“纠缠”。
供参考。