Question

试证：如果n次多项式f（x）＝C0+C1x+C2x²……+Cnxn对n+1个不同的x值都是零

试证：如果n次多项式f（x）＝C0+C1x+C2x²……+Cnxn对n+1个不同的x值都是零试证：如果n次多项式f（x）＝C0+C1x+C2x²……+Cnxn对n+1个不同的x值都是零，则此多项式恒等于零
这是线性代数的题

Answer 1

设这n+1个零点为x0,x1,...xn
f(x0)=C0+C1x0+...+Cnx0^n=0
f(x1)=C0+C1x1+...+Cnx1^n=0
......
f(xn)=C0+C1xn+...+Cnxn^n=0
所以，AC=0，
(1 x0 x0^2 ...... x0^n (C0
1 x1 x1^2 ...... x1^n C1
...... ...... = 0
1 xn xn^2 ...... xn^n) Cn)
其中|A|是范德蒙行列式
|A|=∏ (xi-xj)≠0 (n>=i>j>=0)
所以（C0 C1 ... Cn）有唯一解
已知（0,0,0...0）是AC=0的一个解，则其为唯一解
所以f(x)=0+0x+0x^2+...+0x^n恒等于0

追问

AC是什么？

追答

你是不是不懂行列式啊，0c、1c、2c、...、nc每一行都是共有n行，把c提出来，余下的就是范德蒙行列式也就是A。

Answer 2

如果n次多项式f（x）＝C0+C1x+C2x^2+...+Cnx^n对(n+1)个不同的x值都是零
=>
f(x)≡0
C0=C1=C2=...=Cn = 0