Question

数学求极限，如图，除了洛必达法则，还有其他办法吗，硬算也行啊

Answer 1

解：分享一种解法，用等价无穷小量替换求解。
∵x→0时，ln(1+x)~x-(1/2)x^2，∴原式=lim(x→0)[x-(1/2)x^2-x]/x^2=-1/2。
供参考。

追问

可是为什么只换了分子的一个项的等价无穷小

追答

x、x²的等价无穷小量是其本身，不换与换没有差别啊。

追问

书上说应当换分子分母中的无穷小因子

追答

书上这个结论是“教条”的，或者是错误的。一是等价无穷小量替换的定义，并没有满足运算规则的前提条件。
二是把等价无穷小量“固化”为一阶的。其实，x→0时，sinx~x、sinx~x-(1/6)x^3、……，都是其等价无穷小量，须看解决问题的“环境”而定。
【另外，就以书中例子"lim(x→0)(tanx-sinx)/x^3≠lim(x→0)(x-x)/x^3"是对的，但其分母是x^3，按“环境”要求取tanx~x+(1/3)x^3、sinx~x-(1/6)x^3，可得结论lim(x→0)(tanx-sinx)/x^3=1/2】

追问

没懂诶，，为什么要刚好取1/3，1/6然后恰好得到1/2呢，不可以取1/4,1/5吗，sin和tan分别取的等价无穷小有什么联系吗，取了1/3的话，另一个就一定要取1/6吗？

并且如果ln（1+x）（本题）我取x－(1/3)x^3的话，那结果就是－1/3了？

并且如果ln（1+x）（本题）我取x－(1/3)x^2的话，那结果就是－1/3了？

唔，对不起呀，上面那条发错了

追答

没关系。等价无穷小量替换，本质是函数在x=0处，泰勒级数展开式中对高价无穷小量的“缩写”。
如x→0时，ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+……=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+O(x^3)，也可ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+……=x-(1/2)x^2+O(x^2)，还可以ln(1+x)=x+O(x^)。看具体环境运用，但不能跳跃性地取舍。
供参考。

追问

哦哦

谢谢你的耐心解答

追答

哈哈，不客气。有问题可以继续的，“言论自由”嘛 ！

Answer 2

泰勒呀