Question

问一道数学题，求大神解答！！题目在图上！

最好将解答过程写在图片上，谢谢！

Answer 1

根据增减性求解。

f(x)=xe^ax-1/x,x≠0

f(x)=x(e^ax-1/x²）

x->0+,f(x)-->-∞；x->0-,f(x)-->+∞，x=0是一个断点，但不是0点。

f(x)有两个零点，等效于g(x)=e^ax-1/x²有两个0点。

看成是y=（e^a)^x与y=1/x²的交点，如下图：

a=0,e^0=1,y=（e^a)^x=1^x=1,与y=1/x²两边各有一个交点；

e^a>1=e^0,a>0,与a<0，y=（e^a)^x的图像关于y轴对称。因此只要研究a>0的情形即可。

如上图，y轴的右边，肯定有一个交点；

y轴的左边，x<0,如果y=e^ax,位于y=1/x²的下方，就不会有交点。此时x<0,a越大，a|x|越大，y=e^ax=1/e^|ax|越小，曲线越靠下方x轴，越有可能位于y=1/x²下方。临界情形是y=1/x²与y=e^ax相切。设a=a0时，两曲线相切，-a0≤a≤a0，就是所求范围。

相切时，切点处，两曲线的斜率相等。切点也是交点。

设交点（x0，y0），x0<0,0<y0<1;

y1=e^ax,y1'=ae^x,>0y0=e^ax0

y2=1/x²，y2'=-2/x³>0,

ae^x0=-2/x0³；

y0=e^ax0

y0=1/x0²

ay0=-2/x0³；

a=（-2/x0³）/（1/x0²）=-2x0，x0=-a/2

y0=1/（a²/4）=4/a²

ay0=-2/（-a³/8）=16/a³，y0=16/a^4

4/a²=16/a^4

1=4/a²

a²=4，a=2

∴-2≤a≤2

追答

求错了。a=-2/x0
x0=-2/a，
y0=1/（-2/a）²=a²/4=e^（-2）
a²=4/e²
a=2/e²
解
-2/e²≤a≤2/e²

a0=2/e
-2/e≤a≤2/e

x0=-e，y0=1/e²
y0'=（2/e）e^（2/e×（-e））
=（2/e）e^（-2）
=2/e³
y0'=-2/x0³=-2/（-e）³
=2/e³
正确。

a>0,
lim（x->-∞）e^（ax）/（1/x²）
= lim（x->-∞）x²/e^（-ax）
= lim（x->-∞）2x/[（-a）e^（-ax）]
= lim（x->-∞）2/[a²e^（-ax）]
=0
e^（ax）是1/x²的高阶无穷小，最后，e^（ax）总会走到1/x²的下方，因此，如果y=e^（ax）不是与y=1/x²相切（此时，仅有两个交点），而是在x<0相交，必然在x<0,还有另一个交点，此时共有3个不同的交点。但是题目只说“有两个不同的根”，没有说“有且仅有”或者“仅有”“ 两个不同的根 ”，有3个也是可以的。

Answer 2

Answer 3

如图，a有3个取值

追问

有个问题，题目说的是范围，怎么解出是确定的值？是题目有问题吗？

追答

不晓得呢，我解出来就这样了

追问

我解出来也是这样。