一个高一数学证明题
若函数f(x)关于1.x=ax=b对称证明函数是周期函数2.(a,0)(b,0)对称证明是周期函数3.x=a(b,0)对称证明是周期函数要详细过程谢谢啊...
若 函数f(x) 关于
1. x=a x=b 对称 证明函数是周期函数
2. (a,0)(b,0)对称 证明是周期函数
3. x=a (b,0)对称 证明是周期函数
要详细过程 谢谢啊 展开
1. x=a x=b 对称 证明函数是周期函数
2. (a,0)(b,0)对称 证明是周期函数
3. x=a (b,0)对称 证明是周期函数
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4个回答
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证明:1.因为函数f(x) 关于x=a x=b 对称,所以f(x) =f(2a-x) ,f(x) =f(2b-x) ,所以f(2a-x)=f(2b-x)=f(2a-x +(2b-2a))即f(x)=f(x+2b-2a),所以f(x)的以|2b-2a|为周期的周期函数
2.因为 函数f(x) 关于a,0)(b,0)对称,所以f(x)+f(2a-x)=0,f(x)+f(2b-x)=0
所以f(2a-x)=f(2b-x)=f(2a-x +(2b-2a))即f(x)=f(x+2b-2a),所以f(x)的以|2b-2a|为周期的周期函数
3设(x,f(x))在函数f(x) 上,则函数f(x) 关于. x=a 的对称点为(2a-x,f(x) . )也在函数f(x) 上,所以f(x)=f(2a-x)① 函数f(x) 关于(b,0)对称点为(2b-x,-f(x))所以:-f(x)=f(2b-x)② 因为点(2a-x,f(x) . )也在f(x)上,所以其关于(b,0)对称点为(2b-2a+x,-f(x)),所以f(2b-2a+x)=-f(x)③ 由③②得f(2b-x)=f(2b-2a+x)令t=2b-x,则x=2b-t,带入f(2b-2a+x)得f(t)=f(4b-2a-t)即f(x)=f(4b-2a-x)④ 结合①④得f(2a-x))=f(4b-2a-x)=f(4b-4a+2a-x)即f(x)=f(x+4b-4a)所以f(x)为以|4b-4a|为周期的周期函数
顺便说下,上面证明有的比较简便不懂在交流哈
2.因为 函数f(x) 关于a,0)(b,0)对称,所以f(x)+f(2a-x)=0,f(x)+f(2b-x)=0
所以f(2a-x)=f(2b-x)=f(2a-x +(2b-2a))即f(x)=f(x+2b-2a),所以f(x)的以|2b-2a|为周期的周期函数
3设(x,f(x))在函数f(x) 上,则函数f(x) 关于. x=a 的对称点为(2a-x,f(x) . )也在函数f(x) 上,所以f(x)=f(2a-x)① 函数f(x) 关于(b,0)对称点为(2b-x,-f(x))所以:-f(x)=f(2b-x)② 因为点(2a-x,f(x) . )也在f(x)上,所以其关于(b,0)对称点为(2b-2a+x,-f(x)),所以f(2b-2a+x)=-f(x)③ 由③②得f(2b-x)=f(2b-2a+x)令t=2b-x,则x=2b-t,带入f(2b-2a+x)得f(t)=f(4b-2a-t)即f(x)=f(4b-2a-x)④ 结合①④得f(2a-x))=f(4b-2a-x)=f(4b-4a+2a-x)即f(x)=f(x+4b-4a)所以f(x)为以|4b-4a|为周期的周期函数
顺便说下,上面证明有的比较简便不懂在交流哈
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基本都是设点举例子做的 写写太麻烦了
(这个都是基础题啊 小弟弟不给里啊)
(这个都是基础题啊 小弟弟不给里啊)
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书上都有这种例子,老师上课也会说的
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因为x=a,x=b是对称轴,有f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)
所以f(x)=f(a-(a-x))=f(2a-x)=f(2a-x+b-b)=f(b-(b-2a+x))=f(b+(b-2a+x))=f(x+2(b-a))
所以f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数
所以f(x)=f(a-(a-x))=f(2a-x)=f(2a-x+b-b)=f(b-(b-2a+x))=f(b+(b-2a+x))=f(x+2(b-a))
所以f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数
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