Question

高一简单数学

高一简单数学求a╯n的通项公式，谢谢

Answer 1

2Sn=an + 1/an
当n=1时：2S1=a1 + 1/a1
a1=1/a1
a1²=1，则a1=±1
∵数列{an}是正数数列
∴a1=1
当n≥2时：Sn - S(n-1)=an
则2Sn=Sn - S(n-1) + 1/[Sn - S(n-1)]
Sn + S(n-1)=1/[Sn - S(n-1)]
两边同乘Sn - S(n-1)：
Sn² - S(n-1)²=1
∴数列{Sn²}是首项为1，公差为1的等差数列
则Sn²=1+(n-1)•1=n
∴Sn=√n
∴an=Sn - S(n-1)=√n - √n-1，(n≥2)
则当n=1时：a1=√1 - √1-1=1
∴an=√n - √n-1，(n∈N+)

Answer 2

以下采用难度较低的做法：

1. 试探an通项公式
   

   可算出a1=1

   a2=√2-1

   a3=√3-√2

   a4=√4-√3

   因此，猜测an=√n-√(n-1)

2. 采用数学归纳法证明该猜测

   1）n=1时，a1=1,结论成立

   2）假设n=k时，结论成立,即：ak=√k-√(k-1)

   以下证当n=k+1时结论也成立:

   由于2Sn=an+1/an,则2S(k+1)=a(k+1)+1/a(k+1)

   又，S(k+1)=a(k+1)+Sk

   =a(k+1)+(√k-√(k-1))+(√(k-1-√(k-2))+...+(√3-√2)+(√2-√1)+√1

   =a(k+1)+√k

   则2a(k+1)+2√k=a(k+1)+1/a(k+1)

   即：a(k+1)+2√k=1/a(k+1)
   

   设u=a(k+1), u>0,则：u+2√k=1/u

   u²+2√k u-1=0

   u=-√k+√(k+1)

也就是，a(k+1)=√(k+1)-√k

从而，结论得证。

数学归纳法避免了寻找解答中特殊的突破口的困难。

Answer 3

可以把题全部给我吗？

追问

那就是全部

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