Question

{an}为单调递增数列,a1=1且满足2Sn=an²-2S（n-1）+1（n≥2,n∈N*）求an

Sn为其前n项和

Answer 1

2Sn+2S(n-1)=an²+1
2S(n+1)+2Sn=a(n+1)²+1
2S(n+1)-2S(n-1)=a(n+1)²-an²
[a(n+1)+an][a(n+1)-an]-2[a(n+1)+an]=0
[a(n+1)+an][a(n+1)-an-2]=0
a1=1，又数列为单调递增数列，a(n+1)+an恒>0，因此只有a(n+1)-an-2=0
a(n+1)-an=2，为定值
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列
an=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2n-1

追问

不完整，未验证n=1,2时通项公式也成立

追答

呵呵

你在胡言乱语什么。

追问

因为题目所给的n取值范围n≥2,n∈N*，计算中也是服从这个取值范围，故因说明n=1,2时an=2n-1也成立。这样才是完整的

追答

你完全理解错了。n≥2,n∈N*是针对已知等式的。是由于等式中出现了n－1。

不再回复。

Answer 2

a1=1,
n=2, 2S2=a1²-2S1+1=1-2+1=0，S2=0=a1+a2，
得到a2=-a1=-1，与{an}是单调递增数列矛盾，
所以此题无解。

追问

a2=-1（舍去）或a2=3所以是有解的且an=2n-1