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求数学大神解答

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Answer 1

注：应说明a、b、c中任意两者不同时为0，否则原式没有意义。
［证明］
∵a、b、c都是非负数，
∴a＋b≧2√（ab）、b＋c≧2√（bc）、c＋a≧2√（ca），
∴当a、b、c不出现任意两者同时为0时，就有：
√（ab）/（a＋b）≦1/2、√（bc）/（b＋c）≦1/2、√（ca）/（c＋a）≦1/2，
∴√（ab）/（a＋b）＋√（bc）/（b＋c）＋√（ca）/（c＋a）≦3/2，
∴［√（ab）/（a＋b）＋√（bc）/（b＋c）＋√（ca）/（c＋a）］^2≦9/4。
－－－－－
由柯西不等式，有：
（ab＋bc＋ca）［1/（a＋b）^2＋1/（b＋c）^2＋1/（c＋a）^2］
≧［√（ab）/（a＋b）＋√（bc）/（b＋c）＋√（ca）/（c＋a）］^2。
∵［√（ab）/（a＋b）＋√（bc）/（b＋c）＋√（ca）/（c＋a）］^2≦9/4，
∴（ab＋bc＋ca）［1/（a＋b）^2＋1/（b＋c）^2＋1/（c＋a）^2］≧9/4。