Question

高中数学…几何证明

Answer 1

（1）证明：以D为原点O，以射线DA、DE、DC分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系；作标点A(2,0,0); B(2,0,2),C(0,0,4),E(0,Ey,0); 向量BC={-2,0,2}, BE={-2,0,-2};

BC·BE={-2,0,2}·{-2,Ey,-2}=(-2)(-2)+0*Ey+2(-2)=0; 所以有：BC⊥BE。证毕。

（2）四棱锥体积：V=(1/3)(1/2)(AB+CD)*AD*DE=(1/6)(2+4)*2*DE=2DE=4/3; DE=2/3。连结BD，连结EF；则BC⊥BD；BE=√[(2√2)^2+(2/3)^2]=2√7/3; AE=√[2^2+(2/3)^2]=4/3;

E-ABCD的侧面积:S=(1/2)[(4+2)*(2/3)+2*(4/3)+2√7/3*2√2]=2+4/3+2√14/3=(10+2√14)/3。

Answer 2

（1）
∵AB⊥AD、AB∥CD，∴AD⊥BD。
∵AB⊥AD、AB＝AD＝2，∴BD＝2√2、∠ADB＝45°。

∵AD⊥BD、∠ADB＝45°，∴∠BDC＝45°，又BD＝2√2、CD＝4，
∴BD/CD＝√2/2＝sin45°＝sin∠BDC，∴BC⊥BD。
∵ED⊥平面ABCD，∴BC⊥ED，又BC⊥BD、BD∩DE＝D，∴BC⊥平面ADE，
∴BC⊥BE。
（2）
显然有：S(ABCD)＝（AB＋CD）·AD/2＝（2＋4）×2/2＝6。
∴V(E－ABCD)＝（1/3）ED·S(ABCD)＝2ED＝4/3，∴ED＝2/3。
∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AD，
∴AE＝√（AD^2＋ED^2）＝√（4＋4/9）＝2√10/3。
－－－－－－
∵ED⊥平面ABCD，∴AB⊥ED，又AB⊥AD、ED∩AD＝D，∴AB⊥平面ADE，
∴AB⊥AE，∴BE＝√（AB^2＋AE^2）＝√（4＋40/9）＝2√19/3。
∵BC⊥BD、CD＝4、BD＝2√2，∴BC＝2√2。
∴S(△EBC)＝（1/2）BC·BE＝（1/2）×2√2×2√19/3＝2√38/3。
S(△EAB)＝（1/2）AB·AE＝（1/2）×2×2√10/3＝2√10/3。
S(△EAD)＝（1/2）AD·ED＝（1/2）×2×（2/3）＝2/3。
S(△ECD)＝（1/2）CD·ED＝（1/2）×4×（2/3）＝4/3。
∴E－ABCD的侧面积＝2＋2√10/3＋2√38/3。