Question

求表面积为a^2而体积最大的长方体的体积

Answer 1

√6a^3/2304。

设长方体长为x,宽为y,高为z

目标函数f(x,y,z)=xyz

限制条件为g(x,y,z)=2(xy+yz+xz)=a²

即φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0

引入拉格朗日乘子λ,构造拉格朗日函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)=xyz+λ[2(xy+yz+xz)-a²]

则

L'x(x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0.(1)

L'y(x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0.(2)

L'z(x,y,z)=xy+2λ(x+y)=0.(3)

φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0.(4)

由(1)(2)(3)得

x=y=z=4λ

代入(4)得

λ=a/√96=√6a/24

即驻点为P(x,y,z)=P( √6a/24,√6a/24,√6a/24)

唯一驻点,故最值

最大体积V=xyz=8λ^3=√6a^3/2304

扩展资料

长方体的表面积

因为相对的2个面面积相等，所以先算上下两个面，再算前后两个面，最后算左右两个面  。

设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的表面积为S = (ab+bc+ca)×2，也等于2ab+2bc+2ca，还等于2（ab+bc+ca）。

公式：长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2，或：长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2。

长方体的体积

长方体的体积=长×宽×高。

Answer 2

设长方体长为x,宽为y,高为z
目标函数f(x,y,z)=xyz
限制条件为g(x,y,z)=2(xy+yz+xz)=a²
即φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0
引入拉格朗日乘子λ,构造拉格朗日函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)=xyz+λ[2(xy+yz+xz)-a²]
则
L'x(x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0.(1)
L'y(x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0.(2)
L'z(x,y,z)=xy+2λ(x+y)=0.(3)
φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0.(4)
由(1)(2)(3)得
x=y=z=4λ
代入(4)得
λ=a/√96=√6a/24
即驻点为P(x,y,z)=P( √6a/24,√6a/24,√6a/24)
唯一驻点,故最值
最大体积V=xyz=8λ^3=√6a^3/2304

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4

L'x(x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0
L'y(x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0
L'z(x,y,z)=xy+2λ(x+y)=0
φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0

x=y=z=-4λ
因为x，y，z为边长所以λ开根号以后取负值
λ=-a/√96=-√6a/24
所以

最大体积V=xyz=√6a^3/36

Answer 5

设边长为根号6分之a，v=边长的立方求导