知道一个矩阵如何求一个矩阵的一百次方
当知道一个矩阵时，可以利用矩阵相似对角化的方法来求一个矩阵的一百次方。
如果存在一个矩阵P，使 P逆*A*P的结果为对角矩阵，则称矩阵P将矩阵A对角化。其中P为可以矩阵，即可得 P逆*A*P=C，其中C为对角矩阵。
又因为同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵，且它们的乘积是可交换的，即
所以可以知道对角矩阵的一百次方就等于对角矩阵的主对角元素上的数值的一百次方。
同时根据可逆矩阵的性质，可以知道 P逆*P=E，其中E为单位矩阵。
可以这样推导
因为 P逆*A*P=C，所以（P逆*A*P）^100=c^100；
所以 P逆*A*(P*P逆)*A*(P*P逆)……(P*P逆)*A*P=c^100；
最后约得 P逆*A^100*P=c^100；再一次矩阵等式可逆转化得 A^100=P*c^100* P逆。
由此可以求出 A^100=P*c^100* P逆。
扩展资料：
矩阵相似于对角矩阵的充要条件：
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
1、必要性。
设有可逆矩阵P，使得
令矩阵P的n个列向量为α1，α2，……αn，则有
2、充分性
由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为α1，α2，……αn，对应的特征值分别为λ1，λ2，……λn，则有Aαi=λiαi（i=1,2，……，n），以这些向量为列构造矩阵P，则P可逆，且AP=PC，其中C为对角矩阵
参考资料来源：百度百科-对角化
参考资料来源：百度百科-对角矩阵
参考资料来源：百度百科-可逆矩阵
一般两种方法吧，一种针对特殊情况，另一种针对比较一般情况。
下面我将一一举例。题目均来自于教材中。
第一种，适用于矩阵的各行成比例的情况。
方法是：将矩阵拆成一个列向量与一个行向量乘积的形式，且列向量为比例系数，接着运用矩阵的结合律改变乘积顺序即可求解。
第二种，利用相似矩阵中的相似对角化。
方法是：将矩阵与一个对角矩阵相似（当然，前提是这个矩阵可相似对角化），然后转化成对角矩阵求k次方。
若有错误之处望指正，希望对你有所帮助。
1.利用相似。若A与B相似，则存在可逆矩阵P使得P^（-1）AP=B，则A^n=PB^nP^（-1）。为了简化运算，所求与A相似的矩阵B一般是对角矩阵或A的Jordan标准形：
（1）对角矩阵：即B=diag{λ1，λ2，...，λm}，两个对角矩阵相乘仍是对角矩阵，且对角线上每一个元素为对应的两个矩阵相应位置元素的乘积；
（2）Jordan标准形：则B为分块对角矩阵，主对角上的每一块为一个Jordan块，它可以表示为aE与形如
[0 1 0 ... 0 0]
[0 0 1 ... 0 0]
[... ... ...]
[0 0 0 ... 0 1]
[0 0 0 ... 0 0]（记为C）的矩阵之和的形式，若Jordan块M=aE+C，则M^n=（aE+C）^n，按二项式定理展开，由于C（若C为s阶）为幂零指数为S的幂零矩阵（即C^s=0，C^（s-1）不等于0），剩下的项通常较少。分别计算出每一个Jordan块的n次方，按原位置摆放，所得便是B^n。
2.直接利用二项式定理展开。类似于上面的方法，如果A可以直接表示为一个对角矩阵与C的和，则可以直接通过A^n=（aE+C）^n用二项式定理展开。
3.利用数学归纳法。如果A的阶数是不定的、A中的元素不是常数、A是抽象的，通常采用数学归纳法。先写出前几项A、A^2、A^3...，试着找一找规律，再用数学归纳法证明你的结论。
