证明a^2+b^2+c^2≥3abc
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是否题目有误？是不是证明a^3+b^3+c^3≥3abc，其中a,b,c>0
因为：a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=1/2)=(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)
=1/2(a+b+c)[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]
=1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
所以：a^3+b^3+c^3≥3abc
因为：a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
=1/2)=(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)
=1/2(a+b+c)[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)]
=1/2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
所以：a^3+b^3+c^3≥3abc
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