Question

怎么判定稳定系统的稳定性？

Answer 1

对于系统稳定性的判定，控制学家们提出了很多系统稳定与否的判定定理。这些定理都是基于系统的数学模型，根据数学模型的形式，经过一定的计算就能够得出稳定与否的结论，其中，主要的判定方法有：劳斯判据、赫尔维茨判据、李亚谱若夫三个定理。这些稳定性的判别方法分别适合于不同的数学模型，前两者主要是通过判断系统的特征值是否小于零来判定系统是否稳定，后者主要是通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性。
具体到使用方法及形式上，可分为下列三种具体的判定方法：
从闭环系统的零、极点来看，只要闭环系统的特征方程的根都分布在s平面的左半平面，系统就是稳定的。
1、劳斯判据：
判定多项式方程在S平面的右半平面是否存在根的充要判据。——特征方程具有正实部根的数目与劳斯表第一列中符号变化的次数相同。
2、奈奎斯特判据：
利用开环频率的几何特性来判断闭环系统的稳定性和稳定性程度，更便于分析开环参数和结构变化对闭环系统瞬态性能影响。——利用幅角原理——Z、P分别为右半平面闭环、开环极点，要想闭环系统稳定，则Z=P+N=0，其中N为开环频率特性曲线GH（jw)顺时针绕（-1，j0)的圈数。
3、波特图：
幅值裕度——系统开环频率特性相位为-180时（穿越频率），其幅值倒数K，意义为闭环稳定系统，如果系统的开环传递系数再增大K倍，系统临界稳定。
相位裕度——系统开环频率特性的幅值为1时（截止频率），其相位与180之和。意义为：闭环稳定系统，如果系统开环频率特性再滞后r，系统进入临界稳定。
低频段——稳态误差有关。L(w)在低频段常见频率为[-20]、[-40],也就是一阶或二阶无差（v=1/v=2)
中频段——截止频率附近的频段，与系统的瞬态性能有关。为了具有合适的相位裕度（30~60），L（w)在中频段穿过0分贝线的斜率应为[-20]，并且具有足够的宽度。
高频段——抗高频干扰能力。高频段闭环频率特性近似于开环频率特性，高频段幅值分贝越小，则抑制高频信号衰落的作用越大，抗高频干扰越强。L（w）在高频段应具有较大的负斜率。
4、根轨迹：
系统开环传递函数的某一参数变化造成闭环特征根在根平面上变化的轨迹。
增加开环零点，根轨迹左移，提高相对稳定性，改善动态性能。零点越靠近虚轴影响越大。
增加开环极点，根轨迹右移，不利于系统稳定和动态性能

Answer 2

判断系统稳定性的主要方法：奈奎斯特稳定判据和根轨迹法。

它们根据控制系统的开环特性来判断闭环系统的稳定性。这些方法不仅适用于单变量系统，而且在经过推广之后也可用于多变量系统。

稳定性理论：

微分方程的一个分支。研究当初始条件甚至微分方程右端函数发生变化时，解随时间增长的变化情况。主要方法有特征数法，微分与积分不等式，李雅普诺夫函数法等。是天体力学，自动控制等各种动力系统中的首要问题。

对稳定性的研究是自动控制理论中的一个基本问题。稳定性是一切自动控制系统必须满足的一个性能指标，它是系统在受到扰动作用后的运动可返回到原平衡状态的一种性能。关于运动稳定性理论的奠基性工作，是1892年俄国数学家和力学家 А.М.李雅普诺夫在论文《运动稳定性的一般问题》中完成的。