Question

一道高数不定积分题求解答

Answer 1

定积分 （definite integral）
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式

。设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分

Answer 2

2e^(2x) +2e^x +1
=2(e^x + 1/2)^2 + 1/2
let
e^x + 1/2 = (1/2)tanu
e^x dx =(1/2)(secu)^2 du
dx =(1/2)(secu)^2 du /[ (1/2)tanu -1/2 ]
= (secu)^2 du / ( tanu -1 )
∫dx/√(2e^(2x) +2e^x +1)
=∫[(secu)^2 du / ( tanu -1 )]/[ (secu)/√2]
=√2.∫ [secu / ( tanu -1 ) ] du
=√2.∫ dx/( sinx-cosx )
=∫ dx/sin(x-π/4)
=ln| csc(x-π/4) -cot(x-π/4) | +C
=ln| 1/sin(x-π/4) - 1/tan(x-π/4) | +C
=ln| √2/(sinx-cosx) - (1+tanx)/(tanx-1) | +C
=ln|√(2e^(2x) +2e^x +1)/e^x - (1+e^x)/e^x | +C
where
e^x + 1/2 = (1/2)tanu
tanx = 2e^x +1
sinx =(2e^x +1)/ [√2.√(2e^(2x) +2e^x +1) ]
cosx =1/ [√2.√(2e^(2x) +2e^x +1) ]

Answer 3

=∫e^(-x)/√(2+2e^(-x)+e^(-2x))dx
换元e^(-x)=tanu-1
=-∫1/secud(tanu-1)
=-∫secudu
=-ln|secu+tanu|+C

追问

不好意思可以发手写的图片吗 看不太明白😖

追答

分子分母同除以e^x，然后凑微分之后三角换元脱根号

Answer 4

<p><img>6609c93d70cf3bc7b6f47462da00baa1cc112a43<\/img></p><p>
。</p>

追答

追问

你好 我不太明白倒数第三行是怎么变的呢？

追答

分子分母同乘1-sint

再把平方挪到ln前面