Question

“1²+2²+3²+…n²”等于多少？

Answer 1

1. 解：1²+2²+3²+4²+……+n²
   =1*(2-1)+……n*（n+1-1）
   =1*2+2*3+……+n*（n+1）-（1+2+……+n）=2*（2C1+3C2+……+（n+1）Cn）（C为排列标志）-n*（n+1）\2
   =（n+2）C3+1-n*（n+1）\2
   =n(n+1)(2n+1)/6

2. 数学归纳法
   n=1   成立
   假设，n=k成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
   当n=k+1时
   1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + k^2 +(k+1)^2
   =k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
   =(k+1)(2k^2+k+6k+6)/6
   =(k+1)(k+2)(2k+3)/6
   即n=k+1对也成立
   所以1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

3. 数学归纳法：数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

4. 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：

   递推的基础：证明当n=1时表达式成立。

   递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。

5. 数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。比如，由下面的公理可以推出数学归纳法原理：

   自然数集是良序的。注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。