Question

问一道高数题，帮解答

函数f(x)在[0，1]上连续，（0，1）上可导，f（0）＝0，f（1）＝1
证明对任意正数a，b存在不同的η、ξ使得：
应该用拉格朗日中值定理和罗尔定理

Answer 1

此证明用到达布定理
达布定理：函数f(x)在『a,b』上可导，则对于任意介于f`(a+0)与f`(b-0)之间的数t,都有d
属于（a,b）满足 f`(d)=t
证明过程如下
记f(1/2)=t
由拉格朗日中值定理知 存在t1属于（0，1/2） t2属于（1/2，1）
满足 f`(t1)=(f(1/2)-f(0))/(1/2-0)=2f(1/2)
f`(t2)=(f(1)-f(1/2))/(1-1/2)=2-2f(1/2)
即f`(t1)+f`(t2)=2
1.f`(t1)=f`(t2)时 两者都等于1 ，取η=t1、ξ=t2即可
2.两者不等，不妨设f`(t1)>f`(t2)
令f`(t1)=1+c f`(t2)=1-c (c>0)
不妨设a<=b
则有 1-c<1-(ac)/(ac+bc+b)<1+c（可以自行验算其正确性）
由达布定理
知 在（f`(t2)，f`(t1)）存在t3 满足f`(t3)=1-(ac)/(ac+bc+b)
取η=t1、ξ=t3 (t1不等于t3)即可。

Answer 2

a,b>0 则0<a/(a+b)<1 即f(0)<a/(a+b)<f(1)
f(x)在[0,1]上连续,由介值定理有:
存在c∈(0,1)f(c)=a/(a+b) 则1-f(c)=f(1)-f(c)=b/(a+b)
又由拉格朗日中值定理得:
存在ξ∈(0,c) 使f'(ξ)=[f(c)-f(0)]/(c-0)=a/c(a+b)
同理:存在η∈(c,1),f'(η)=[f(1)-f(c)](1-c)=b/(1-c)(a+b)
即a/f'(ξ)+b/f'(η)=a+b

Answer 3

关海豹........