Question

如何做好初高中数学知识衔接

Answer 1

经过中考的激烈竞争，刚进入高中的高一新生都信心十足，对高中的学习和生活充满着期待和好奇，但相当多的学生很快便进入了学习困难期。如何在初中（尤其是初三）教学中既脚踏实地站好岗把好关，又“仰望星空”地服务于高中教学，是值得探讨的问题。本文试结合梁丰初级中学吴静老师在初三年级的一节公开课“二次函数的对称性”，谈谈在初中阶段该如何做好初高中数学衔接教学。
一、教学片段呈现——风生水起育能力
片段1：复习二次函数的解析式。
师：二次函数的解析式有哪些？
生：一般式y=ax2+bx+c（a≠0）；顶点式y=a（x-k）2+h；交点式y=a（x-x1）（x-x2）
师（出示基础练习1）：已知二次函数的图象过点（1，0）、（2，-1）、（3，0），求该二次函数的解析式。
生1、生2依次上讲台讲解用一般式和交点式的解法。
生3：我是用交点式做的（并在实物投影仪展示解答）。因为抛物线过点（1，0）、（3，0），所以其对称轴是直线x=2，又因为图象过点（2，-1），所以其顶点是（2，-1），所以不妨设其方程为y=a（x-2）2-1，然后将点（1，0）代入得a=1。
师：为什么对称轴是直线x=2？
生3：根源在两点的纵坐标相等。
（评析：课堂一开始，教师寥寥数语就激活了课堂，激活了学生的思维，学生落落大方上台展示，为创设良好的生态课堂环境奠定了基础；在以生为本的教学理念下，二次函数的各种解析式都得到复习与训练，并在各种方法的全面呈现、比较中突出了学生对关键条件的再认识，对本节课的主题“二次函数的对称性”有了直观清晰的范例感悟，强化了对解题策略的优化意识。）
片段2：探究二次函数的函数值的大小问题。
师（出示基础练习2）：已知点A（-1，y1）、B（5，y2）是函数y=x2-4x+3图象上的两点，则y1与y2的大小关系是——
生4：我是先配方成y=（x-2）2-1，得知对称轴为直线x=2，然后结合图象知：y1=y2。
生5：不必配方，我是由第1题的结论知对称轴为直线x=2。
生6：用特值法，分别计算出y1、y2。
师：变题1 已知点A（-2，y1）、B（5，y2）是函数y=x2-4x+3图象上的两点，不通过计算比较y1与y2的大小关系。
生7：由于对称轴为直线x=2，所以结合图象知：y1>y2。
师：能否用数学语言描述其一般情形？
生8：当a>0时，二次函数y=ax2+bx+c图象上的点离对称轴越近，其纵坐标越小；当a<0时，二次函数y=ax2+bx+c图象上的点离对称轴越近，其纵坐标越大。
师：还有没有其他方法？
生9：点A（-2，y1）关于对称轴的对称点是A（6，y1），由于点A（6，y1）与点B（5，y2）都在对称轴的右侧，且点A（6，y1）在点B（5，y2）的上方，所以y1>y2。
师：也就是说，既可以考察两点与对称轴距离的大小，也可以转化到对称轴的同一侧。
教师在变式题1的基础上继续变更条件，呈现如下变式：
变题2 设点A（x1，0），B（x2，0），则当时x=x1+x2，y的值为 ？
变题3 设点A（x1，5），B（x2，5），则当时x=x1+x2，y的值为 ？
变题4 当x分别等于x1，x2（x1≠x2）时，y的值相等，则当x=x1+x2时，y的值为 ？
变题5 已知对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x分别等于x1，x2（x1≠x2）时，y的值相等，则当x=x1+x2时，y的值为 ？
（评析：进一步将原题变更，引导学生从具体的问题走向更广泛的问题空间，变单一的解决问题为巩固知识、形成解题策略的方法体系。通过不断变更，让学生不断明晰、强化了本堂课的核心思想：利用二次函数的对称性来巧妙解答二次函数值的大小问题。在教师推波助澜的层层递进中，二次函数的对称美已渐渐凸显。）
片段3：探究二次函数的取值范围问题。
师（出示基础练习3）：画出函数y=x2-4x+3的草图，并回答如下问题：
（1）当3≤x≤5时，y的取值范围是 ；
（2）当2≤x≤5时，y的取值范围是 ；
（3）当0≤x≤5时，y的取值范围是 。
生10：三个小题的答案分别是0≤y≤8，-1≤y≤8，-1≤y≤8。
生11：我不理解为什么第（2）（3）小题中x的范围不一样，但y的范围是一样的？我觉得第（3）小题的答案应该是3≤y≤8。
生12：不能仅看端点的值，而应该观察图1，当x在某范围内变化时，其对应的图象是哪一部分，再观察这一部分图象的纵坐标在什么范围。
师：说得太好了！要观察图象，由图说话！
（接着把三个小题所对应的图象画了出来）
师：若时t≤x≤5，-1≤y≤8，则t的取值范围是 师：若t>2，则——
众生：y取不到-1。
师：若t<-1，则——
众生：y还能取到比8大的值
师：若，则——（边问边画对应图象，该抛物线段的起点在A、B间滑动，终点定格在C处）
众生：y能取到≥-1且≤8的所有值，但取不到除此以外的其他值。
（评析：学生自主质疑、互动排疑，教师适时点拨、精讲释疑，给学生最高程度的自主探究、互动交流的机会，让学生暴露问题并解决问题。在这一系列过程中，始终由学生担当主角。在整个探究过程中，学生都在观察图象，利用图象，由图说话，思维的起点从图象开始，难点的突破依赖于图，结论的对错由图来把关，有意无意间在初三学生的大脑中培植了数形结合思想。）
二、初三教学建议——深谋远虑促衔接
1.多一些探究，少一些灌输。
瑞士著名教育家裴斯泰洛齐说过：“教学的主要任务不是积累知识，而是发展思维，思维的训练，有助于学生拓展思路，培养创新精神。”因此，以学生为主体、教师为主导，将探究活动有机地融入初三数学课，是做好初高中数学教学衔接的最有效的举措，是真正的授人以“渔”。
在新授课中，概念的生成是核心，有时甚至是难点，应引导学生充分探究，基于个人经验的基础上操作实验交流反省，让学生在切身体验中建构，不仅可以有效地突破概念教学的难点，而且可以更好地帮助学生深化对概念的理解，培养学生运用概念的意识和能力。对定理、公式、法则的教学，如果仅让学生机械记忆、直接应用于解题，将直接导致培养出的学生（包括中考佼佼者）到了高中，理解能力极其有限、悟性差、学习寸步难行、成绩一落千丈。因此，教师应对教材适度“再加工”，给学生以“再发现”“再创造”的时空与土壤，让他们对“数学规律”作自主探索，在自身的心理需要与情感体验中自然生成、瓜熟蒂落，为公式定理法则找到牢固的附着点与生长点。
例如，对例题习题的教学，如果一味地“示范→模仿→示范→模仿”，将磨掉学生的直觉、悟性、自信、兴趣，得到的是依赖、惰性、疲惫、厌烦，并且到高中后，知识量成倍增加，学生记忆力再好也是难以应对。因而在初三阶段就应未雨绸缪，以激发学生的解题兴趣、提升解题的内在能力为主旋律，通过“问题裂变”分解难点，引导学生分步探究，通过举一反三，拓展、引申、引导学生深入探究，实现融会贯通，通过观察图象，在运动中探究出清晰正确的结论，等等。
在本课例片段2中，吴老师淋漓尽致地体现了“问题是数学的心脏”，在一串有“近亲”关系的问题引领下，学生乐在其中，探究时那么主动投入，享受了体验探究的过程，感受了成功的乐趣，自我构建了完善的题型与应对方法体系，培养了思维的变通性、灵活性与深刻性，颇具意犹未尽之感，跃跃欲试还想探究遨游一番……长期得到这种锤炼的学生到了高中将会后劲十足！
2.多一些合作展示，少一些教师表演。
如果将每一节课的课型固定化、模式套路化，那么课堂难免会陷入枯燥，这时就需要给课堂注入“活水”，让课堂变得灵动起来，这“活水”便是学生原生态的思维成果。
本课例中，一个个学生走上讲台执起教鞭，讲解虽没有教师那么入木三分，也没有节目主持人那么靓丽耀眼，但语言表达的清晰度和流畅度在举手投足间体现出自信。学生的上台讲解，能在第一时间内理清问题纠正错误，有效避免了课后作业中的错误；各种好的想法、思路在第一时间内得到展示交流，实现了智慧分享，收获了成功自信，激发了“比学赶帮超”！这样的能量是任何一个高水平教师靠孤军奋战都无法企及的，因为经验认知水平的差异，一个头脑要顾及几十个人、要真正“想学生所想，错学生所错”难度是不小的。到高中，随着数学学习内容的广度深度陡增，一节课能解决的问题是有限的，更多地需要学生在课外的合作交流中解决，所以在初中阶段养成合作交流的良好习惯意义深远。
3.多一些思想方法的渗透，少一些技能技巧的强塞。
数学教学不仅仅是将数学知识系统地梳理扫描一遍，更重要的是要通过教学进行归类汇总，掌握通性、通法。学生一旦在课堂中生成了数学思想和数学方法，那么他解决问题的能力将突飞猛进。在新概念、新知识的生成过程中，在解题思路的诞生过程中，要让学生感悟到相关数学思想的合理性、必要性，自觉应用等价转化、分类讨论、数形结合等重要的数学思想方法；在教学重点的关键处，在难点突破的攻坚处，让学生深刻体验数学思想方法的功用；在学生大功告成时，如果让学生趁热打铁、巩固训练，在每节课临近结束时，如果教师能引领学生适当地对本节课的知识和方法进行提纲性的归纳总结，那么，对于增进学生对数学思想方法的理解和形成是大有裨益的。
在本课例中，片段3的疑点难点在曲曲折折中，靠“数形结合”一锤定音，倒逼、诱导学生在“数形结合”的基础上辅之以分类讨论，此时此刻，不仅仅是问题得到了迎刃而解，更珍贵的是在学生的思维之库中慢慢打开了让阳光扑面而来的“窗户”——数形结合、分类讨论。这些都是高中数学的常用思维武器。
4.多一些变式拓展以点带面，少一些就题论题的平铺直叙。
教育心理学告诉我们：只有连续的学习经验才能构成有意义的学习经验，割裂的、散点的、单调的学习经验往往不能构成有意义的学习。所以必要的重复就成为保证连续性的前提，但重复本身又很容易导致学习经验的偏狭，这与“学习”的本义（含有“提高”的意思）不符，因此，有引导的“超越”（如提供变式）就十分必要。
教师首先要精选题，让学生先依靠自身的智力解决问题，然后巧搭平台，设置一系列有层次的变题，让学生在模仿中适度训练，在类比中积极迁移，在创新中拓展升华，在螺旋式上升中建构知识。这样的“乘法式”习题教学，相对于“就题论题平铺直叙”的“加法式”教学模式，既省下了大量的时间与重复劳动，更是让一大串问题的联系与区别一起亮相，在比较中升华认识，将千丝万缕的联系印记在学生的大脑中。这样训练出来的学生上高中后，善类比、会迁移、悟性好，条理清晰，学得轻松，可以有效地避免“听听就懂，做做就错”的尴尬。
在本课例中，片段2、3的系列变式题组，既引导学生在交流展示、一题多解中内化认识、自觉确立最优化方案，又在从特殊到一般的步步变化中强化训练了本节课的核心思想——利用“二次函数的对称性”解题。
5.多一些质疑，少一些崇拜。
教学实践中，我们有时会无奈地面对这样尴尬的一幕：倍受“争议”的教师所任教班级的尖子生群体质优量多，大家公认且被学生崇拜的“优秀”教师则反而相形见绌，明显处于劣势。这与学生的“质疑”精神密切相关，对前者不信任多质疑，每个问题都要亲自尝试验证；对后者信任有余，对教师的所言所为全盘认可，之后便束之高阁，不再理会。
因此，在初中数学教学中，在让出主角给学生的同时，还应“处心积虑”欲擒故纵，或稚化思维，或故设陷阱，或留“一半清醒一半醉”，或像电视剧一样在情节跌宕起伏时巧留悬念，培育学生的问题意识，让学生生疑质疑，学生质疑的积极性一旦被激发，他们主动学习的积极性就会如“链式反应”般尽情释放，他们的潜在学习力就会豪情绽放，课堂就充满了生命的活力，学生的求知欲望将保持在强烈状态下，从课内到课外，学生将会把所学知识大范围、广角度地综合应用，甚至会有突发奇想。
在本课例片段3中，教师把教鞭交给了学生，学生主动露疑、问疑、解疑，取得了良好的教学效果，但这样的质疑机会恐怕还可多一些。长此以往，高中三年，班级的质疑问难之风绝对会与学习成绩成正比。