Question

函数f(x)对任意m,n∈R,都有f(m+n=f(m)+f(n)-1

函数f(x)对任意m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x大于0,f(x)大于1
(1)求证f(x)在R上是增函数
(2)若f(3)=4,解不等式f(a^2+a-5)小于2

主要是第一问.

Answer 1

函数f(X)对任意的mn属于R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，
取m=0，则有f(n)=f(0)+f(n)-1，即f(0)=1，
取m=x，n=-x，则f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1，所以f(-x)=2-f(x)，
因为当x>0时恒有f(x)>1，
设x1<x2，则x2-x1>0，所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x2)-1=f(x2)+2-f(x1)-1>1，
即f(x2)-f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)，故f(x)在R上是增函数。
因为f(3)=4，所以f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=f(1+1)+f(1)-1=f(1)+f(1)-1+f(1)-1=4，
即3f(1)=6，f(1)=2，
f(a^2+a-5)＜2，即f(a^2+a-5)＜f(1)，因为f(x)是增函数，
所以a^2+a-5＜1,，a^2+a-6＜0，(a+3)(a-2)<0，所以-3<a<2。