Question

怎样求这个极限？

高数问题，不要用拉格朗日中值定理来做。目前只学完等价无穷小替换

Answer 1

分享一种解法【假设x>0】，应用等价无穷小量替换求解。
∵n→∞时，1/(n+1)→0、1/n→0，∴x^[1/(n+1)]=e^[(lnx)/(n+1)]~1+(lnx)/(n+1)。同理。x^(1/n)~1+(lnx)/n，
∴原式=lim(n→∞)n²[1+(lnx)/(n+1)-1-(lnx)/n]=-lnx。
供参考。

追问

如果这样替换岂不是在减法中替换了么？(e∧lnx/x+1)-(e∧lnx/n)~1+(lnx/n+1)-1-(lnx/n)

追答

等价无穷小量的定义中，没有四则运算规则的限定条件。满足其定义的条件，即可进行替换。应用 中，需要视“解决问题”时的条件而定取前几项（n=1,2，或者3……）。
供参考。