Question

高等数学，微积分，幂级数求和函数

求和函数，大神教我做这个题，非常感谢！幂级数求和有没有什么技巧？我老是做不来。要哭了。

Answer 1

f(x)=1*2x+2*3x²+...
=(1*x²+2*x³+...)'
=[x(x+2x²+3x³+...)]'
而我们知道x+2x²+3x³+...=x/(1-x)²
所以f(x)=[x²/(1-x)²]'
求导就自己写了

追问

x+2x²+3x³+...=x/(1-x)²

这个咋求

追答

这不是必背的麼......就像e^x=∑x^n/n!...一个道理
书上有例题,自己去看,以及记住常见的和函数,对你做题有帮助

Answer 2

S(x) = 1·2x + 2·3x^2 + 3·4x^3+ ......
= ∑<n=1,∞>n(n+1)x^n = [∑<n=1,∞>nx^(n+1)]'
= [∑<n=1,∞>(n+2)x^(n+1) - ∑<n=1,∞>2x^(n+1)]'
= {[∑<n=1,∞>x^(n+2)]' - 2x^2/(1-x)}' ( |x| < 1 )
= {[x^3/(1-x)]' - 2x^2/(1-x)}' = {[-x^2-x-1+1/(1-x)]' + 2x+2-1/(1-x)}'
= {-2x -1 + 1/(1-x)^2 + 2x + 2 - 1/(1-x)}'
= [1 + 1/(1-x)^2 - 1/(1-x)]' = 2/(1-x)^3 - 1/(1-x)^2
= (1+x)/(1-x)^3 ( |x| < 1 )