Question

用级数求函数的高阶导数

求f(x)=arctanx的n阶导数在x=0处的值?

求高阶导数是泰勒公式，或者幂级数的一个主要应用。
主要是利用表达式的唯一性。
一方面，由定义，f（x）＝arctanx 的麦克老林公式中，x^n的系数是：f（n）（0） / n！，f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数。
另一方面，f ' （x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n），所以，f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/ （2n＋1）
比较两个表达式中x^n的系数，得：
当n为偶数时，f（x）在x＝0处的n阶导数是0；
当n为奇数时，设n＝2m＋1，f（x）在x＝0处的n阶导数是：（－1）^m× （2m）！

如何比较两个式子?能给出具体过程吗要详细的，最好是手写，谢谢

Answer 1

1.求高阶导数是泰勒公式，或者幂级数的一个主要应用。 主要是利用表达式的唯一性。
2. 一方面，由定义，f（x）＝arctanx 的麦克老林公式中，x^n的系数是：f（n）（0） / n！，f（n）（0）表示在x＝0处的n阶导数。 另一方面，f ' （x）＝1/（1＋x^2）＝∑（－1）^n×x^（2n），
3.所以，f（x）＝∑（－1）^n×x^（2n＋1）/ （2n＋1） 比较两个表达式中x^n的系数，得： 当n为偶数时，f（x）在x＝0处的n阶导数是0； 当n为奇数时，设n＝2m＋1，f（x）在x＝0处的n阶导数是：（－1）^m× （2m）！ 比较两个式子，就可以求出 f(x)=arctanx的n阶导数在x=0处的值。

4.具体的用级数求函数的高阶导数，过程见上图。

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