Question

求教一道关于离散数学的数学题!

关系~被定义在R²上，(X1,Y1)~(X2,Y2)当且仅当X2=aX1, Y2=aX1时(a≥1）。证明~是偏序。

Answer 1

按照定义来就好了!
先把你的定义精确一下: (X1,Y1)~(X2,Y2)当且仅当存在 a>=1 使得 X2=aX1, Y2=aX1.
根据偏序的定义逐个验证:
1) (X1,Y1)~(X1,Y1). 显然成立, 只需要在定义里面取a=1.
2) 如果 (X1,Y1)~(X2,Y2), (X2,Y2)~(X1,Y1)则 (X1,Y1) = (X2,Y2).
这个也是显然的, (X1,Y1)~(X2,Y2)表明 X2=aX1, Y2=aX1 其中 a>=1.
所以 X1=1/a*X2, Y1=1/a*X2.
又因为(X2,Y2)~(X1,Y1) 所以1/a>=1 所以 a=1.
3) 如果(X1,Y1)~(X2,Y2), (X2,Y2)~(X3,Y3)则 (X1,Y1) = (X3,Y3).
这个也是显然的, (X1,Y1)~(X2,Y2)表明 X2=aX1, Y2=aX1 其中 a>=1
(X2,Y2)~(X3,Y3)表明 X3=bX2, Y3=bX2 其中 b>=1
所以X3=abX1, Y3=abX1, 因为 ab>=1 所以(X1,Y1) = (X3,Y3).