Question

几道有关线性代数的证明题。请务必清晰解答！

1.证明：向量组a1 ,a2, … as （s>=2）线性无关的充分必要条件是a1 ,a2, …as ，中任意k（1<=k<=s）个向量都线性无关。

2.设向量a1 ,a2, … as 线性无关，而向量a1 ,a2, … as ，b, c线性相关，且b与c都不能由a1 ,a2, … as 线性表示，证明a1 ,a2, … as ，b 与a1 ,a2, … as ，c等价。

3.设向量a1 ,a2, … as 线性相关，但其中任意s-1个向量都线性无关，证明：必存在s个全不为零的数k1 ，k2 …ks,使得k1a1+k2a2+…+ksas=0.

4.设向量a1 ,a2, … as 的秩为r，证明：其中任意选取m个向量所构成的向量

Answer 1

1. 知识点: 整体无关则部分无关;  部分相关则整体相关.

证明: 反证. 若有k个向量线性相关, 则存在一组不全为零的数使其线性组合等于0. 将其余向量都乘0系数加进来仍等于0, 这样对整个向量组就存在一组不全为零的数使其线性组合等于0, 这与整个向量组线性无关矛盾.

2. 此题有点游戏的味道

证明: 由a1 ,a2, … as ，b, c线性相关, 则存在一组不全为零的数使其线性组合等于0.

由向量a1 ,a2, … as 线性无关, b, c的系数不能全为0 (全为零的后果你明白...).

再由 b与c都不能由a1 ,a2, … as 线性表示, b, c的系数都不能为0 (这要结合上句话)

把b移到等式右边,  b可由a1 ,a2, … as ，c线性表示. 同理 c可由a1 ,a2, … as ，b线性表示.

所以两个向量组等价.     (若不明白 请hi我, ^-^ )

3. 由向量组a1 ,a2, … as 线性相关知存在一组不全为零的数使其线性组合等于0.

假如其中某个向量的系数等于0, 则其余的s-1个向量就线性相关, 这与已知矛盾.

所以存在一组都不为零的数, 使其线性组合为0.

4. 此题有问题. 不完整. 是不是说其秩 >= r+m-s  ????