高中数学问题求解

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善言而不辩
2020-01-30 · TA获得超过2.5万个赞
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红色f(x),绿色g(x)

令g(x)=f²(x)+f(x)+t,方程有实根,转化成g(x)有零点,即

g₁(x)=e²ˣ+eˣ+t                x≥0

g₂(x)=log²(-x)+log(-x)+t  x<0

g₁'(x)=2e²ˣ+eˣ>0→g₁(x)单调递增 g₁(x)≥g₁(0)=2+t t≤-2时有且有1个零点

g₂'(x)=2log(-x)·-1/(ln10·-x)+-1/(ln10·-x)

        =1/(ln10·x)[2log(-x)+1]

驻点log(-x)=-½→x=-1/√10 左-右+ 为极小值点

极小值=¼-½+t=t-¼→t<¼时 g₂(x)有两个零点,t=¼时 g₂(x)有一个零点,t>¼时 g₂(x)没有零点。

综上:t>¼ 方程无实根,t=¼时方程有一个实根,-2<t<¼时方程有两个实根,t≤-2时方程有三个实根。

(个人感觉,直接用导数法更为直截了当)

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