Question

线性代数求特征值的疑问

请问一下，两者的特征值怎么不一样，A的平方，和A的三次方，求出的特征值不一样，为什么呢？正常来说，两种的思路都是正确的呀。

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Answer 1

因为你再乘一个αβT然后等于9A以后，它就已经和原先的条件不完全等价了……问题在于(βTα)²=9不能推回βTα=3，βTα还可能等于-3，你最后得出的λ=-3就是βTα=-3的情况，已经不符合题意了，所以要舍去这个答案。
但这么做当然也是没错的，因为最后解方程得出的是“或”呀，从逻辑上讲也是没问题的。
另外提一下，αβT的秩一定不超过1，它的非零特征值也就至多只有一个，从这点也能看出来3和-3不可能都是它的特征值。

追问

您好，有一个问题就是，βTα=3，才能推出 A的三次方-9A=0。而不能反推说，存在λ=-3，与原条件不符合。那么，λ=0也和原条件不符合呀？就好像说，已经b=3，可以得出b的平方=9一样，就是不用管反推的情况。另外，我想问一下，λ= βTα是怎么推算出来的，非常感谢你的耐心解答。

Answer 2

确定能得到A^3 = 9A和A^2 = 3A，由A^2 = 3A可求出特征值0或3，如果通过A^3 = 9A来求，得到0、3和-3，但-3不满足A^2 = 3A，应该舍去
事实上A^2 = 3A，即A(A-3E) = O，而A^3 = 9A，可得A(A-3E)(A+3E) = O，相当于多出了A+3E = O这种情况。
不知这样说明白了没有？