Question

判断曲线凹凸性及拐点坐标

Answer 1

由曲线凹凸的相关定理知，当二阶导数f"(x)>0（<0）时，曲线是凹（凸）的
。
而拐点即为二阶导数f"(x)=0且左右异号的点。
对于本题，y
=
e^(-1/2x^2)
一阶导数易求得为
y'
=
-xe^(-1/2x^2)
对一阶导数在求导数得，
y"=x^2e^(-1/2x^2)
-e^(-1/2x^2)=(x^2
-
1)e^(-1/2x^2)
令y"
=
0
则得到
x1=-1,
x2=1
下面依照定理进行凹凸性和拐点判断。
(1)
当x<-1时，y">0
则在区间(-∞,-1)，曲线是凹的；
(2)
当-1<x<1时，y"<0
则在区间(-1,1)，曲线是凸的；
(3)
当x>1,y">0
则在区间(1,+∞)，曲线是凹的.
综上知曲线的拐点为x=+/-1时取得
即
为
(1,e^(-1/2))
(-1,e^(-1/2))

Answer 2

y'=3x^2-2x-1
y''=6x-2
拐点为y''=0处，X=1/3
(1/3,16/27)
当X<1/3时，y''<0,为凸函数
当X>1/3时，y''>0,为凹函数
极值：
y’=0，解得X1=1,X2=-1/3
当X=1时，y''>0，为极小值，y=0
当X=-1/3时，y''<0,为极大值，y=32/27
极小值点（1，0），极大值点（-1/3,32/27）