Question

不定积分的几何意义

Answer 1

解：原式=∫<-π/2,π/2>x^2015•(sinx)^6dx+∫<-π/2,π/2>(sinx)^6dx

=0+2∫<0,π/2>(sinx)^6dx

=(1/4)∫<0,π/2>[5/2-3cos(2x)+(3/2)cos(4x)+cos³(2x)]dx

=(1/4)•(5/2)•(π/2)

=5π/16.

Answer 2

答：被积分函数是f(x)=x^2015sin^6x+sin^6x=h(x)+g(x);因为h(x)是奇函数，对称区间积分为0；g(x)=sin^6x是偶函数，运用半角公式：(sin^2x)^3=[(1-cos2x)/2]^3=(1/8)[1-3cos(2x)-3cos^2(2x)-cos^3(2x)]=(1/8){1-3cos2x+(3/2)(1+cos4x)-cos2x[1-sin^2(2x)}=(1/16)[5-6cos(2x)+...];注意到三角函数在其整个周期内的积分=0；
原式=(1/8)∫(0,π/2) 5dx=(1/8)[5x](0.π/2)=5π/16。

Answer 3

如图所示