Question

高数，如图，求详解，谢谢！

Answer 1

利用极坐标求解

令x=pcosk，y=psink
原式=∫(0,2π)dk*∫(0,R) (p^2cos^2k/a^2+p^2sin^2k/b^2)*pdp
=∫(0,2π) (cos^2k/a^2+sin^2k/b^2)dk*∫(0,R) p^3dp
=(1/2)*∫(0,2π) [(1+cos2k)/a^2+(1-cos2k)/b^2]*(1/4)*p^4|(0,R)
=(1/8)*[k/a^2+sin2k/2a^2+k/b^2-sin2k/2b^2]|(0,2π)*R^4
=(R^4/8)*(2π/a^2+2π/b^2)
=(π/4)*R^4*(1/a^2+1/b^2)

Answer 2

令x=r cosβ，y=r sinβ
则0≤β≤2π，0≤r≤√R
原式=∫[0,2π]dβ∫[0,√R](r²cos²β/a²+r²sin²β/b²)rdr
=∫[0,2π](cos²β/a²+sin²β/b²)dβ∫[0,√R]r^3dr
=∫[0,2π][(1+cos2β)/ 2a²+(1-cos2β)/ 2b²]dβ ·【 r^4/4 |[0,√R]】
=R²/4 【∫[0,2π](1/ 2a²+1/ 2b²)dβ +∫[0,2π](1/ 2a²-1/ 2b²)cos2βdβ】
=R²/4 【2π(1/ 2a²+1/ 2b²) +½(1/ 2a²-1/ 2b²)sin2β|[0,2π]】
=R²/4 【2π(1/ 2a²+1/ 2b²) +0】
=πR²(a²+b²) / 4a²b²