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令f(x)=|x+1|+|x|+|x-1|,
x<-1时,f(x)=-x-1-x-x+1=-3x
-1≤x<0时,f(x)=x+1-x-x+1=2-x
0≤x<1时,f(x)=x+1+x-x+1=2+x
x≥1时,f(x)=x+1+x+x-1=3x,图像如下所示。
可见f(x)的最小值为2,要使f(x)≥|m+1|恒成立,则要求|m+1|≤2
由此可知,-3≤m≤1
(2)根据山前唯第一问可知悔枯,m的最大值为1,故M=1。
所以a+2b+3c=M=1。可见0<a<1,0<b<1/2,0<c<1/3。
将1=a+2b+3c代入所求式中有:
原式=1/(2a+b)+1/(b+2c)=(a+2b+3c)/(2a+b)+(a+2b+3c)/(b+2c)
(a+2b+3c)/(2a+b)=0.5+1.5(b+2c)/(2a+b)
(a+2b+3c)/(b+2c)=1.5+0.5(2a+b)/(b+2c)
两式相加就变成2+1.5(b+2c)/(2a+b)+0.5(2a+b)/(b+2c)
利用公式a+b≥逗培2√(ab),很容易得到结果。
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五故事你就可以应该可以去做了。
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(1)|x+1|+|x|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|+|x| (-1≤x≤1时取"=")
=|x|+2≥2 (x=0时取"=")
即|x+1|+|x|+|x-1|≥2,且x=0时取"="
|x+1|+|x|+|x-1|的伏团最小值是2
m可取的充要条件是 2≥|m+1|
-3≤m≤1
所以m的取值范围是[-3,1]
(2)由(1) M=1
a,b,c都是正数,a+2b+3c=1
(2a+b)+3(b+2c)=2(a+2b+3c)=2
2a+b>0,b+2c>0,(2a+b)+3(b+2c)=2
2[1/(2a+b)+1/(b+2c)]
=[(2a+b)+3(b+2c)][1/(2a+b)+1/(b+2c)]
≥[(√(2a+b))·(1/√(2a+b))+(√(3(b+2c)))·(1/√(b+2c))]² (柯缺棚橘西不等式)
=(1+√3)²=4+2√3
2[1/(2a+b)+1/(b+2c)]≥4+2√3
所以 1/(2a+b)+1/(b+2c)≥和衡2+√3
=|x|+2≥2 (x=0时取"=")
即|x+1|+|x|+|x-1|≥2,且x=0时取"="
|x+1|+|x|+|x-1|的伏团最小值是2
m可取的充要条件是 2≥|m+1|
-3≤m≤1
所以m的取值范围是[-3,1]
(2)由(1) M=1
a,b,c都是正数,a+2b+3c=1
(2a+b)+3(b+2c)=2(a+2b+3c)=2
2a+b>0,b+2c>0,(2a+b)+3(b+2c)=2
2[1/(2a+b)+1/(b+2c)]
=[(2a+b)+3(b+2c)][1/(2a+b)+1/(b+2c)]
≥[(√(2a+b))·(1/√(2a+b))+(√(3(b+2c)))·(1/√(b+2c))]² (柯缺棚橘西不等式)
=(1+√3)²=4+2√3
2[1/(2a+b)+1/(b+2c)]≥4+2√3
所以 1/(2a+b)+1/(b+2c)≥和衡2+√3
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