Question

X服从参数为1/2的指数分布，E（X^2）=??

RT
难道不是8？
答案说是4 看半天没看懂

Answer 1

X~ E(1/2）
f(x)
= (1/2)e^[-(1/2)x] ; x>0
=0 ; x≤0
E(X^2)
=∫(0->∞) x^2 .f(x) dx
=(1/2)∫(0->∞) x^2 .e^[-(1/2)x] dx
=-∫(0->∞) x^2 .de^[-(1/2)x] dx
=-[ x^2 .e^[-(1/2)x] ]|(0->∞) +2∫(0->∞) xe^[-(1/2)x] dx
=0 -4∫(0->∞) xde^[-(1/2)x]
=-4[ x.e^(-2x) ]|(0->∞) +4∫(0->∞) e^[-(1/2)x] dx
= -8 [ e^[-(1/2)x] ]|(0->∞)
=8

Answer 2

根据指数分布的性质，有 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$，$Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$。因此，
E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = \frac{1}{\lambda^2} + \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{2}{\lambda^2}E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=λ21+(λ1)2=λ22
因为 $X$ 服从参数为 $1/2$ 的指数分布，所以 $\lambda = 1/2$，代入上式得到：
E(X^2) = \frac{2}{(1/2)^2} = 8E(X2)=(1/2)22=8
因此，$X$ 的平方的期望为 $8$。

Answer 3

根据指数分布的定义，其概率密度函数为：
f(x) = λe^(-λx)，其中λ为参数，x>0
则X的期望值为：
E(X) = ∫[0,∞] xλe^(-λx) dx
令u = λx，dx = du/λ，代入上式得：
E(X) = ∫[0,∞] (u/λ) e^(-u) du
根据Gamma函数的定义，有：
∫[0,∞] u^(α-1) e^(-u) du = Γ(α)，其中α>0
因此，上式可化为：
E(X) = (1/λ) Γ(2) = (1/λ) 1! = 1/λ
又因为X服从参数为1/2的指数分布，所以λ = 1/2，代入上式得：
E(X) = 1/(1/2) = 2
根据随机变量的定义，有：
E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2
因此，我们还需要计算X的方差：
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
根据指数分布的定义，其方差为：
Var(X) = 1/λ^2 = (1/(1/2))^2 = 4
代入上式得：
E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = 4 + 2^2 = 8
因此，E(X^2) = 8。

Answer 4

E(X)=1
Ee^(-2x)=∫(0~无穷)e^(-2x)e^(-x)dx=-e^(-3x)/3|(0~无穷)=1/3
1+1/3=4/3