Question

已知函数f(x)是R上的增函数,且满足f(x)-f(y)=f(x-y),若0≤θ≤π/2时,f(mcosθ)+f(1-m)＞0,则m的取值范围

Answer 1

f(mcosθ)+f(1-m)>0
即f(mcosθ)+f(1)-f(m)>0
即f(mcosθ)>f(m)-f(1)=f(m-1)
因为是增函数
所以mcosθ>m-1
1、当m=0时，0>-1 满足不等式
2、当m>0时，不等式同除以m:
cosθ>(m-1)/m
则(m-1)/m<[cosθ]的最小值=0
则m<1
所以0<m<1
3、当m<0时，不等式同除以m，注意变号
cosθ<(m-1)/m
则(m-1)/m>[cosθ]的最大值=1
则m-1<m
-1<0
所以m<0
综合1-3得到：m<1

Answer 2

解：∵f(x)-f(y)=f(x-y).∴令x=y时，有f(0)=0.∴f(mcost)+f(1-m)＞0.<===>f(mcost)＞f(0)-f(1-m)=f[0-(1-m)]=f(m-1).<===>mcost＞m-1.<===>m(1-cost)＜1.∵t∈[0,π/2].∴当t=0时，此时有0＜1.当0＜t≤π/2.===>0≤cost＜1.===>0＜1-cost≤1.===>1/(1-cost)≥1.∴由m(1-cost)＜1.可知，m＜1/(1-cost).∴m＜1.