Question

如何建立开区间（0,1）与闭区间【0,1]的一一对应 如何建立开区间（0,1）与闭区间【0,1]的一对无穷对应

Answer 1

解：做从(0,1)到[0,1]映射f(x)

分段函数：

f(x)=0,（当x=1/2时）

f(x)=1/n,（当x=1/n+2时，其中n=1，2，…

即：n为正整数序列

f(x)=x,（当x≠1/n+2且x≠1/2时，其中n=1，2，…

即：n为正整数序列

推论

若ξ是闭区间套{[an,bn]}的公共点，则对任意ε>0，总存在自然数N，当n>N时，有[an,bn]⊂U(ξ,ε)。即，如果ξ是闭区间套{[an,bn]}的公共点，那么在ξ的ε邻域内，总有区间套{[an,bn]}的无数个区间。

Answer 2

解：做从(0,1)到[0,1]映射f(x)
分段函数：
f(x)=0,（当x=1/2时）
f(x)=1/n,（当x=1/n+2时，其中n=1，2，…
即：n为正整数序列）
f(x)=x,（当x≠1/n+2且x≠1/2时，其中n=1，2，…
即：n为正整数序列）
此f(x)即为双射，符合题目要求。
当然(0,1)开区间和[0，1]闭区间之间还有很多种双射。
按照可以将有理数进行排序的原则，将0，1插入序列中，有很多种方法。
那种方法理论可行，只是表达繁琐而已，理论上讲是没问题的。
一数轴中，任意(a,b)区间a<b，都可和另一个区间或者若干个区间的并集（不管开闭）做双射。
n维空间都可以和m空间做双射（当然了，他们都不能是只有单独的一个零元素组成的空间）