Question

求微分方程的通解或在给定初始条件下的特解，求明细

Answer 1

求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解1。（dy＆＃47；dx）－y＆＃47；x－1＝0，y（e）＝3e；解：令y＆＃47；x＝u，则y＝ux；对x取导数得dy＆＃47；dx＝（du＆＃47；dx）x＋u，代入原式得：（du＆＃47；dx）x＋u－u－1＝0，即有（du＆＃47；dx）x＝1；分离变量得du＝dx＆＃47；x；积分之得u＝lnx＋lnC＝ln（Cx），故得通解为y＝xln（Cx）；代入初始条件：3e＝eln（Ce）＝e（lnC＋1），即有lnC＝2，C＝e＆＃178；；于是得特解为y＝xln（e＆＃178；x）＝x（2＋lnx）＝2x＋xlnx；2npxy＆＃39；＋2y＝041y（1）＝1；解：dy＆＃47；dx＝－2y＆＃47；x；分离变量得dy＆＃47；y＝－2dx＆＃47；x；取积分得lny＝－2lnx＋lnC＝ln（C＆＃47；x＆＃178；）故得y＝C＆＃47；x＆＃178；即通解为x＆＃178；y＝C；代入初始条件得C＝1，故得特解为x＆＃178；y＝1．

Answer 2

求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解
1。(dy/dx)-y/x-1=0，y(e)=3e；
解：令y/x=u，则y=ux；对x取导数得dy/dx=(du/dx)x+u，代入原式得：
(du/dx)x+u-u-1=0，即有(du/dx)x=1；分离变量得du=dx/x；积分之得u=lnx+lnc=ln(cx)，
故得通解为y=xln(cx)；代入初始条件：3e=eln(ce)=e(lnc+1)，即有lnc=2，c=e²；
于是得特解为y=xln(e²x)=x(2+lnx)=2x+xlnx；
2。xy'+2y=0，y(1)=1；
解：dy/dx=-2y/x；分离变量得dy/y=-2dx/x；取积分得lny=-2lnx+lnc=ln(c/x²)
故得y=c/x²，即通解为x²y=c；代入初始条件得c=1，故得特解为x²y=1.