Question

幂级数的和函数在收敛域上为什么连续

Answer 1

weierstrass定理可以证明。
简单来说就是：
在收敛域内找任意一条简单闭曲线l（曲线包围区域也属于收敛域），计算和函数在该曲线上的积分，由于是幂级数，因此级数在收敛域内内闭一致收敛于和函数(阿贝尔定理)
，因此积分和求和符号可以交换次序，由于幂级数每一项都是解析的（积分为0），
所以和函数的积分为0。由于l是任意取的，由morera定理，和函数解析。