Question

一个大正方形分成16个小正方形,按分格线分成相等的两部分有多少种方法

Answer 1

首先，不管怎么分，只要是完全相同的两部分，那么必然会进过正方形的中心点；而且一旦有一般的路径（分割线）确定了，另一半也是确定的（因为要保证对称）。所以要保证对称，意味着与中心点接触的两部分分别属于两个不同的部分，而且要对称，我们用1,表示左上角的那一半，0表示右下角的那一半（这样整个正方形纸片被1和0分为两部分，总共16个格子，分为8个1,8个0），如下图，X代表不确定图1
下面要做的，只需要用1或0代替X，使得所有的1连成一片，所有的0连成一片（即每个0的上下左右至少有一个是0，且每个1的上下左右至少有一个1），很明显，最下面两种情况是没有办法连的，排除。再看图1中第一行第一个图，为了保证中间两个1能跟1相连，只需要满足从左到右，从上到下的顺序填1，共有6种情况，
图2
看图1中第二行第一个图，刚好是第一行第一个图的转置（行列颠倒），所以也是6种情况；
然后再看图1中第一行第二个图，要保证1不间断，不仅要保证从上到下，从左到右的顺序，而且下面要5个1才能相连，上面要2个1才能相连（两者只要一个相连即可），所以有5种情况（从左上角的1开始，往下走4个1，往右走1个1的方法不能相连，其他组合都相连），如下图：图3同样的，图1中第二行第二个图与第一行第二个图是行列颠倒的关系，所以也是5种；故总共6+6+5+5=22种可能，沿着这些图中0和1的边界剪开，就是相同的两部分；所以有22种分法