Question

高中数学 圆锥曲线 公式推导 详细解释一下

Answer 1

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Answer 2

设直线的斜率是k,
y-n=k（x-m）
令x-m=t，x=m+t
则y-n=kt，y=n+kt
设x1，，x2,是交点的横坐标，由中点坐标公式可知
x1+x2=2m。.
即m+t1+m+t2=2m，
所以t1+t2=0，这是以下解题的根据。
将上式x=m+t，y=n+kt代入x²/a²+y²/b²=1，进行化简。
（m+t）²/a²+（n+kt）²/b²=1
因为t1，t2是方程两个根，t1+t2=0
所以t的一次项为零，即2m/a²+2nk/b²=0.
k=-b²m/a²n
直线方程是y-n=-b²m/a²n（x-m）
化成ny/b²+mx/a²=m²/a²+n²/b².
所以过点P（m，n）且被点P平分的椭圆x²/a²+y²/b²=1的弦所在直线方程为ny/b²+mx/a²=m²/a²+n²/b²
同理
过点P（m，n）且被点P平分的椭圆x²/b²+y²/a²=1的弦所在直线方程为ny/a²+mx/b²=m²/b²+n²/a²
。
过点P（m，n）且被点P平分的双曲线x²/a²-y²/b²=1的弦所在直线方程为mx/a²-ny/b²=m²/a²-n²/b².
过点P（m，n）且被点P平分的双曲线x²/b²-y²/a²=1的弦所在直线方程为mx/b²-ny/a²=m²/b²-n²/a²
注意：上述对于双曲线的情况，只是在有解的情况下的表示。因为要考虑二次方程有无解的情况。由于情况太多不便于电脑打出。请谅解。

Answer 3

首先，你的（1）（2）椭圆方程和（3）（4）双曲线方程弄反了。
椭圆方程应为：x²/a²+y²/b²=1
x²/b²+y²/a²=1
双曲线方程为：x²/a²-y²/b²=1
x²/b²-y²/a²=1
以第一题为例：
（1）设点P所在直线为y=k（X-m）+n，与椭圆方程联立，消y
，得：x²/a²+[k（X-m）+n]²/b²=1
整理得：（1/a²+k²）x²+[（-2k²m+2kn）/b²]
x
+
[
(-2kmn-k²m²+n²)/b²-1
]=0
由于将直线方程和椭圆方程联立即是求二者的交点坐标，那么两个交点横坐标之和应是点p横坐标的二倍（因为点p是中点）则由韦达定理得：
2m=[（2k²m-2kn）/b²]
／（1/a²+k²）
则k易求，求出k，代入所设直线方程，则所求直线方程可求。由于你给的m，n，a，b四个参数，所以方程的表示形式非常繁杂，故不发给你了。如果你真的只是想求含这四个参数的，可追问我。呵呵
（2）（3）（4）的求法和（1）的求法大同小异。步骤为：先联立直线方程和曲线方程，消y，之后得到一个含k的关于x
的二次方程，对这个二次方程使用韦达定理，由韦达定理得到两根之和是中点横坐标的二倍，则k可求，因为原直线方程过定点p，故只需求得k，知k则知方程
如果你有什么看不懂的，或有其他的数学类问题，可继续问我。望能和你成为朋友，一起交流研究。加油！

Answer 4

方法1：利用代数法
联立y=kx+2和x²-y²=6得到(k²-1)x²+4kx+10=0
直线与双曲线右支交于不同两点，此关于x的方程有两个不等的正数根。
于是有δ=(4k)²-40(k²-1)>0
且x1+x2=4k/(1-k²)>0，x1x2=10/(k²-1)>0
分别解得-√15/3<k<√15/3，k<-1或0<k<1，k<-1或k>1
所以-√15/3<k<-1。
方法2：用几何法
直线y=kx+2过定点(0，1)，画直线与双曲线，过点(0，1)作与双曲线的渐近线y=±x的平行直线。
观察得到过(0，1)的直线中与右支相切，及平行于直线y=-x平行直线y=-x+1之间的直线与双曲线右支有两个不同交点。
求出与右支的切线斜率为-√15/3，于是k的范围是-√15/3<k<-1。