Question

求解一条高中数学题！

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数。若方程f(x)=m(m>0)在区间【-8，8】上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=

Answer 1

f（x）为奇函数，f（0）=0，
f（x-4）=-f（x），f(4)=0,
f(x-8)=-f（x-4）=f（x），所以f（x）是周期为8的函数，f（8）=0。
在区间【0，2】上是增函数，那么在此区间f(x)>0，根据f（x-4）=-f（x），
在区间【4，8】f(x)<0。

f（x-4）=-f（x），f（x）为奇函数，那么f(x)=f(4-x).

f(x)=m在区间【-8，8】上有4个不同的根,设两个正根x1，4-x1，那么两个负根根据周期8为x1-8，4-x1-8。则x1+x2+x3+x4=-8。

Answer 2

f(x-4)=-f(x),
因为函数是奇函数
所以f(x-4)=-f(4-x)
所以f(4-x)=f(x),
令x=x+2
有f(2-x)=f(2+x),
所以对称轴为x=2
所以x1+x2+x3+x4=8

Answer 3

由上面的式子可知：当x=0时，f(-4)=-f(0),由于f(x)为奇函数，所以，f(-4)=f(0)，且f(0)=0
当x=8时，f(4)=-f(8)=-f(-4)=-f(0)=0=f(0),所以可得到其周期为8的奇函数。区间【0,2】上是增函数，那么在[2,4]就是减函数，取f(x)=m,m>0,此时的x1+x2+x3+x4正是一个循环周期，所以其值为8，即x1+x2+x3+x4=8.

Answer 4

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，故
f(-x)=-f(x)，且f(0)=0。
又f(x-4)=-f(x)，所以f(-x-4)=-f(x+4)=-f(x)，
即f(x+4)=f(x)。
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
且 f(-8)=f(-4)=f(4)=f(8)=f(0)=0。
函数f(x)在区间【0，2】上是增函数，
则函数f(x)在区间【-2，2】上是增函数，
则函数f(x)在区间【-10，-6】，【-2，2】，【6，10】上是增函数；
函数f(x)在区间【-6，-2】，【2，6】上是减函数。
方程f(x)=m(m>0)在区间【-8，8】上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，
所以x1，x2，x3，x4分别在区间【-8，-6】，【-6，-4】，【0，2】，【2，4】上，
且x1、x2关于-6对称，x3、x4关于2对称。
所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8。

Answer 5

f(x-4)=-f(x)
f[(x+4)-4]=-f(x+4)
∴f(x-4)=f(x+4)

f[(x+4)-4]=f[(x+4)+4]
即f(x)=f(x+8)
T=8
X1+X2+X3+X4=-8