Question

用极限定义证明lim（n！/n^n）=0

Answer 1

利用极限的定义！
任意ε>0，要使得（n！/n^n）<ε，则
n!/n^n
=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)
<n/n*
(n-1)/n
*(n-2)/n-1
*...*2/3
*1/2
=1/n<ε
则只要n>1/ε
取N=[1/ε]，当n>N，有n>1/ε，从而有
（n！/n^n）<ε恒成立
则有lim（n！/n^n）=0
扩展资料：
当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：
第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。
第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。
分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。
N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
参考资料来源：搜狗百科——函数极限

Answer 2

利用极限的定义！
任意ε>0,要使得（n！/n^n）<ε，则
n!/n^n
=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)
<n/n*
(n-1)/n
*(n-2)/n-1
*...*2/3
*1/2
=1/n<ε
则只要n>1/ε,
取N=[1/ε],当n>N,有n>1/ε，从而有
（n！/n^n）<ε恒成立
则有lim（n！/n^n）=0

Answer 3

任意ε>0,要使得（n！/n^n）<ε，则
n!/n^n
=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)
<n/n*
(n-1)/n
*(n-2)/n-1
*...*2/3
*1/2
=1/n<ε
则只要n>1/ε,
取N=[1/ε],当n>N,有n>1/ε，从而有
（n！/n^n）<ε恒成立
则有lim（n！/n^n）=0
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Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示