Question

数学高手快来！

当x>0,(x^2-1)ln x>=(x-1)^2
y=(x^2-1)ln x-(x-1)^2
y'=2xln x-x-1/x-2
y"=2(ln x+1)-1+1/x^2
y"'=2/x-2/x^3
y"'=0 x=1
y"最小值=2>0 y'单调增
然后怎么做

Answer 1

y'=2xln x-x-1/x - 2应该是y'=2xln x-x-1/x + 2
这种解法不简便。
(1)先证明 当x>1, (x +1)ln x > x-1，令f(x)= (x +1)ln x - x+1, f'(x)= lnx + 1/x >0 => f(x) > f(1) = 0
(2)当x>1,在上述不等式两边同乘以(x-1)即可证得,(x^2-1)ln x>(x-1)^2

(3)当0<x<1,1/x >1,由(2) 得 ,(1/x^2-1)ln (1/x)>(1/x - 1)^2 变形就可得结论（x=1也成立）