Question

高等数学 微积分题目

证明4x-y+11=0 是y=16/x²-1的切线。 注：是y=16/x²-1而不是y=16/（x²-1）

Answer 1

【1】直线4x-y+11=0的斜率为4。
要使曲线
切线
的斜率为4，
解方程
[(16/x^2)-1'=4，得x=-2，而曲线上点(-2,3)处的切线恰好为，4x-y+11=0。
【2】比较麻烦，必须用
反证法
。
如果直线4x-y+11=0是曲线y=16/[(x^2)-1]的切线。
高等数学
知识告诉我们：
切点横坐标一定是
方程
4x+11=16/[(x^2)-1]……①
的重根，
即4x^3+11x^2-4x-27=0……②
的重根。
由高等数学f(x)=0的重根必是f'(x)=0的根，所以方程②的重根，必满足
(4x^3+11x^2-4x-27)'=0，即12x^2+22x-4=0，
解得x1=1/6，x2=-2，但它们都不满足②（即①）。
【结论】直线4x-y+11=0不是曲线y=16/[(x^2)-1]的切线。