Question

三角形两边之和大于第三边。如何证明？

Answer 1

设有一个三角形ABC，可以以A点作BC边上的高。取垂足为D
BD+CD=BC
AB>BD
AC>CD
所以就有AB+AC>BD+CD=BC即两边之和大于第三边。
对于B点和C点类似这样作。当然这是锐角的情形。
钝角的时候，情况更加的简单明了

Answer 2

证明：
假设构成三角形的三条边分别为：a、b、c，且a、b、c大小任意；
①先证明：a+b＞c；
因为a、b、c都为正数，所以要使得a+b＞c成立，只需证明（a+b）²＞c²，即：
（a+b）²-c²＞0；
根据余弦定理：cosc=（a²+b²-c²）/2ab=（（a+b）²-c²-2ab）/2ab；
移项得：（a+b）²-c²=2ab（2+cosb）；
对于等式的右边：cosb在角b取值范围内的值为（-1,1）；
所以1＜（2+cosb）＜2；
又因为a、b都是正数；
所以2ab（2+cosb）＞0，即（a+b）²-c²＞0，即a+b＞c；
②对于a+c＞b和b+c＞a的情况证明是类似的；
综上所述，证得：三角形的任意两边之和大于第三边。

Answer 3

最简单的证法：两点之间直线最短。
因为AB之间是直线，而AC+CB不是直线，
所以AC+CB>AB
所以三角形两边之和必然大于第三边。