Question

斯托克斯公式计算

Answer 1

设γ为分段光滑的空间有向闭曲线，s是以
为边界的分片光滑的有向曲面，γ的正向与s的侧符合右手规则，函数p(x,y,z)、q(x,y,z)、r(x,y,z)在曲面s（连同边界γ）上具有一阶连续偏导数，则有
旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，下图中，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。
这个公式叫做
上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：
另一种形式
通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换：
流形上的斯托克斯公式
令m为一个可定向分段光滑n维流形，令ω为m上的n-1阶
类紧支撑微分形式。如果
表示m的边界，并以m的方向诱导的方向为边界的方向，则
这里dω是ω的外微分,
只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized
stokes'
formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、
上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。
该定理经常用于m是嵌入到某个定义了ω的更大的流形中的子流形的情形。
定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。
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