Question

已知抛物线y=ax方+（4/3+3a）x+4的开口向下，与x轴交于点A和B，与y轴交于点C

1）用a表示出A，B，C的坐标；
2）用a表示出线段AB，BC，AC的长；
3）如果△ABC是等腰三角形，求a的值；
4）该抛物线是否关于y轴对称？

Answer 1

1.y=ax方+（4/3+3a）x+4=（ax+4/3）（x+3）
所以A（-4/3a，0），B（-3,0），C（0,4）
2.AB=3-4/3a
BC=5
AC=根号4²+（-4/3a）²=4/3a根号（9a²+1)
3.当AB=BC时，a=-2/3
当AB=AC时，a=-8/7
当BC=AC时，a=-4/9
4.对称轴x=-（4/3+3a）/2a=0
即4/3=-3a
a=-4/9时，关于y轴对称

Answer 2

解：依题意，得点C的坐标为（0，4），
设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），
由ax2+（

43

+3a）x+4=0，
解得x1=-3，x2=-

43a

，
∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（
-
43a

，0），
∴AB=|-

43a

+3|，AC=

AO2+OC2

=5，BC=

CB2+OC2

=

|-43a|2+42

，
∴AB2=|-

43a

+3|2=

169a2

-

8a

+9，
AC2=25，BC2=

169a2

+16．
（ⅰ）当AB2=AC2+BC2时，∠ACB=90°，
由AB2=AC2+BC2，
得

169a2

-

8a

+9=25+

169a2

+16，
解得a=-

14

，
∴当a=-

14

时，点B的坐标为（

163

，0），
AB2=

6259

，A
C2=25，BC2=

4009

，
于是AB2=AC2+BC2，
∴当a=-

14

时，△ABC为直角三角形．
（ⅱ）当AC2=AB2+BC2时，∠ABC=90°，
由AC2=AB2+BC2，
得25=

169a2

-

8a

+9+

169a2

+16，
解得a=

49

．
当a=

49

时，-

43a

=-

43×49

=-3，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．
＜ⅲ＞当BC2=AC2+AB2时，∠BAC=90°，
由BC2=AC2+AB2，
得25+

169a2

-

8a

+9=

169a2

+16，
解得a=

49

，
不合题意．
综合＜ⅰ＞、＜ⅱ＞、＜ⅲ＞，当a=-

14

时，△ABC为直角三角形．