Question

若函数f（x）在（a，b)内具有二阶导数，且f（x1）

Answer 1

∵f(x)的二阶导数存在
∴f(x)的一阶导数存在
∴f(x)连续
∵f(x)在〔x1、x2〕上连续，在（x1，x2）内可导，f(x1)=f(x2)
∴由罗尔定理得：至少存在一个c1属于（x1，x2），使得f‘(c1)=0
同理，f(x)在[x2，x3]上连续，在(x2，x3)内可导，f(x2)=f(x3)
∴由罗尔定理得：至少存在一个c2属于（x2，x3），使得f’(c2)=0
又∵f'(x)在〔c1，c2〕上连续，在（c1，c2）内可导，f'(c1)=f'(c2)
∴由罗尔定理得：至少存在一个ε属于（c1，c2），使得f''(ε)=0
而（c1，c2）包含于（a，b）

Answer 2

设a属于（x1，x3），因为f(x1)=f(x2)，所以存在一个a，满足f（a）的一阶导数=0，
同理，设b属于（x2，x3），因为
f(x2)=f(x3)，所以存在一个b，
满足f（b）的一阶导数=0
所以f（a）的一阶导数=f（b）的一阶导数
所以必然存在一点ξ属于（a，b），
而（a，b）属于（x1,x3）,使得f”(ξ)＝0。