Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N使得△AMN周长最小

Answer 1

如图，以BC为对称轴作A的对称点E，以CD为对称轴作A的对称点F
连接EF，与BC,CD分别交于点P,Q
则当M,N分别与交点P,Q重合时，△AMN周长最小
由对称可知，有 AM=EM, AN=FN
∴△AMN周长=AM+MN+AN=EM+MN+FN
E,F两点间直线最短，故只有当M,N分别与P,Q重合时
△AMN周长取得最小值，此最小值即为EF
由对称性可知，∠AMN=∠E+∠EAM=2∠E，
∠ANM=∠F+∠FAN=2∠F
又∠BAD=120°，∴∠E+∠F=180°-120°=60° （△AEF内角和180°）
∴∠AMN+∠ANM=2（∠E+∠F）=120°
选 C

Answer 2

延长ab到e,使be=ab；延长ad到f,使de=ad
连接ef,分别交bc,
cd与点m,
n
则△amn周长的最小值就是ef的长。
如果题中有要求ab=1，ad=2.
作fg⊥ae于g。
作图得，ae=2ab=2，af=2ad=4
∵∠fae=120°
∠g=90°
∴∠gfa=30°
∴ag=1/2af=2
fg=√(af²-ag²)=2√3
∴ef=√[(ae+ag)²+fg²]=√[(2+2)²+12]=2√7
∴⊿amn的周长：am+mn+an=em+mn+fn=ef=2√7请点击采纳为答案

Answer 3

延长AB到E，使得AB=BE；延长AD到F,使得AD=DF，连接ME,FN,
由于AD=DF,DN=DN,∠ADN=∠DNF=90°可知△ADN全等于△FDN；同理△ABM全等于△EBM.
可知AM=ME，AN=FN；△AMN周长转化为EM+MN+NF，明显连接FE交BC、CD于M,N时周长最短。
由于△ABM全等于△EBM，所以∠MAE=∠E，∠AMN=∠MAE+∠E=2∠E；同理∠ANM=2∠F
△AFE中∠BAD＝120°，∠E+∠F=60°；可知∠AMN+∠ANM=2（∠E+∠F）=120°

Answer 4

如图，作
A
关于
BC、CD
的对称点（相当于分别延长
AB、AD
一倍）A1、A2，
连接
A1A2，交
BC、CD
于
M、N，这就是所求周长最短的点，
此时
∠AMN+∠ANM
=
120°
。