Question

ln（x+1）+1＞x/（x+1）×k恒成立且x＞0，求整数k的最大值

我算的答案是1，不知道对不对

Answer 1

【1】设f(x)=ln(x+1)+1-kx/(x+1)。
定义域x＞0。
【2】f(0)=ln(0+1)+1-0*k/(0+1)=1＞0，
【3】f
'(x)=1/(x+1)-k/(x+1)²=(x+1-k)/(x+1)。
令
f
'(x)≥0，那么
x+1-k≥0，k≤x+1。
所以k≤1。
【4】所以当k≤1时，f(x)＞0。
所以ln(x+1)+1＞kx/(x+1)成立时，
k的最大值是1。

Answer 2

y=ln（x+1）+1-kx/（x+1）
y'=1/(x+1)-(kx+k-kx)/(x+1)^2

=(x+1-kx-k+kx)/(x+1)^2

=(x+1-k)/(x+1)^2=0
当x=k-1时取极小值
miny=lnk+1-k(k-1)/k=lnk+1-k+1=lnk+2-k
令lnk+2-k=0

解得：k=3.1462
注：此方程为超越方程，需用编程或用数学软件求解。